3.
PERMUTACION
La Permutación
es una técnica de conteo que permite calcular las posibles ordenaciones de los
elementos de un conjunto. La principal característica es que la colocación de
elementos se realiza en un orden determinado.
Una permutación
es una operación que se define para dos números naturales de tal forma que la permutación
de n en r se denota n Pr; n simboliza el número de elementos de la población y
r el número de elementos de la muestra.
Se calcula:
nPr =
Ejemplo:
Resolver aplicando
permutaciones.
a. ¿Cuántas permutaciones
se pueden obtener con 4,8,3 y 1, si se permite repetir digito, para formar números
de 2 cifras?
En este caso el orden
para formar números de 2 cifras debe tomar en cuenta y para encontrar los
arreglos, se pueden utilizar otras técnicas de conteo como el principio de la multiplicación.
Primer evento: 4 segundo evento: 4
Numeros de 2 cifras: 4
x 16 = 16
Luego se aplica la fórmula:
n=4 , r=2
nPr =
4P2 =
=
= 12
Como se permite repetir
dígitos, al resultado obtenido se le suma 4, que equivale a los números: 11,33,
44 y 88; entonces: 12+4=16 permutaciones.
Hay 16 permutaciones
diferentes de números de 2 cifras.
4.
Numero de ordenamientos
Una permutación es un
arreglo sin repeticiones. El orden en que se colocan los elementos es
importante.
4.1
Tomando todos los elementos del conjunto
En algunas
permutaciones es necesario tomar todos los elementos de la población para
encontrar el numero de arreglos, es decir n=r.
Si en una permutación el
conjunto tiene n elemtnos y se toman
todos los elementos del conjunto, se calcula: n Pn = n!.
Ejemplos
Utilizar el principio
de la multiplicación para comprobar las opciones encontradas con la formula de
la permutación.
a. se desea formar números
de tres cifras con los dígitos 4,7 y 1. ¿Cuántos números diferentes se puede
formar?
n=3 r=3;
nPr =
3P3 =
3P3 =
* Principio de la multiplicación.
Maneras de formar los números
de 3 cifras:
3x2x1= 6
Hay 6 maneras de formar
números de 4 cifras.
4.2
Tomando parte de los elementos del conjunto
En una permutación un
arreglo ordenado de r objetos, seleccionados de entre n objetos distintos sin repetición
se calcula mediante la expresión:
nPr =
Donde n!=n(n-1) x (n-2)…
x (2) x (1)
Ejemplo
Establecer cuantos y
cuales números de tres cifras se puede formar con los divisores del número 6.
No se puede repetir divisores.
El numero 6 tiene 4
divisores que son 1,2,3 y 6. Como no se puede repetir divisor y se está
formando números de tres cifras, se establece la siguiente permutación, con n=4
y r=3.
nPr =
4P3 =
= 4x3x2x1= 24
Se pueden formar 24 números
distintos.
5.
Combinación
En las permutaciones el
orden de los elementos se toma en cuenta. Si no se toma en cuenta el orden, ¿de
cuantas maneras pueden combinarse los elementos?
Un arreglo de r objetos
seleccionados de n objetos distintos, sin importar el orden y sin repetición se
conoce como combinación; de la misma forma que para las permutaciones, es
necesario que la población sea mayor que la muestra.
El número total de
estas combinaciones se simboliza nCr
El numero de
combinaciones de n objetos diferentes tomados de r en r, se calcula mediante la
siguiente expresión:
nCr =
si r=n, la expresión es
la siguiente
nCr =
Ejemplos:
Calcular el numero de
posibilidades para elegir dos opciones de cinco servicios de pago directo.
Sustituir n=5 y r=2 en
la expresión anterior
5C2 =
Existen 10 formas
diferentes de elegir las dos opciones de servicio de pago directo.
Calcular el numero de
permutaciones posibles para esta misma situacion
5P2 = nPr =
Se obtienen 20
posibilidades en comparación con las 10 que se obtienen en una combinación.
6.
Calculo de combinaciones
Si el orden en el que
eliges los elementos al combinarlos es importante, se trata de una permutación.
Si no importa el orden en la elección, es una combinación.
Por tal razón, se debe
leer detenidamente el enunciado para determinar si se trata de una permutación o
de una combinación.
Ejemplos
a. ¿Cuantas
combinaciones de 3 letras se puede hacer con las letras de la palabra CARLOS?
Solución:
n=6 r=3
6C3 =
=
b.
¿Y si influyera el orden?
Si
influyera el orden seria permutaciones de 6 elementos, tomados de 3 en 3
6P3 =
= 120
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