Unidad 5: Resolvamos ecuaciones de segundo grado
¿En qué se aplica?
El estudio de las ecuaciones cuadráticas resulta de mucho interés no solo en matemática, sino también en física y en otras áreas del conocimiento, para establecer, por ejemplo, la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la que describe un río al caer desde lo alto de una montaña y la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista.
En arquitectura o ingeniería civil su conocimiento es de gran importancia, pues numerosos arcos en templos y otros edificios, puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres y muchas represas, tienen forma de parábola.
Por otro lado, la ecuación cuadrática aparece en la solución de problemas en los que se desea encontrar el área de diferentes figuras del plano y volumen de cuerpos
geométricos. En el campo de la óptica, lentes tienen curvatura en fon gos las utilizan para estudiar los organismos.
Ecuaciones de Segundo Grado
Son aquellas con exponentes cuadráticos en algunas de sus incógnitas.
1. Ecuación General
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Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que puede expresar de la forma ax- + bx + c = O, siendo a, b y c números reales ya/ recibe el nombre de ecuación cuadrática o ecuación general de segundo grado.
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Dependiendo del valor de las constantes b y c, las ecuaciones cuadráticas se clasifica] incompletas y completas.
Ecuaciones completas: son aquellas ecuaciones de la forma :
Por ejemplo, las ecuaciones 2x2 + 43x - 5 = 0,23.x2 + 15x - 31=0, 27x2 - 14x+49=0, son ecuaciones completas.
Solucionar una ecuación cuadrática significa encontrar el valor o los valores de las im nitas que hacen verdadera la igualdad.
Gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática corresponde a los puntos de corte, si los hay, de la parábola con el eje x.
Por ejemplo, la grafica de la ecuacion
-x2-4x+5=0, tiene 2 soluciones reales y diferentes, en x= -5 y en x= 1 que son los cortes de la grafica con el eje x .
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Toda ecuación cuadrática puede tener dos raíces reales diferentes, dos raíces complejas diferentes o una sola raíz real. Resolver o hallar las raíces de una ecuación cuadrática significa encontrar el valor o los valores por los que se puede remplazar la ; variable de tal manera que se satisfaga la igualdad.
En ocasiones se presentan polinomios en los que al reducir los términos semejantes se obtiene una ecuación cuadrática.
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Forma canónica de una ecuación cuadrática
En ocasiones es necesario efectuar operaciones algebraicas para escribir una ecuación en la forma canónica: x2 + bx + c = O, donde byc son números reales.
1. Ecuación General
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Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que puede expresar de la forma ax- + bx + c = O, siendo a, b y c números reales ya/ recibe el nombre de ecuación cuadrática o ecuación general de segundo grado.
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Dependiendo del valor de las constantes b y c, las ecuaciones cuadráticas se clasifica] incompletas y completas.
Ecuaciones completas: son aquellas ecuaciones de la forma :
Por ejemplo, las ecuaciones 2x2 + 43x - 5 = 0,23.x2 + 15x - 31=0, 27x2 - 14x+49=0, son ecuaciones completas.
Solucionar una ecuación cuadrática significa encontrar el valor o los valores de las im nitas que hacen verdadera la igualdad.
Gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática corresponde a los puntos de corte, si los hay, de la parábola con el eje x.
Por ejemplo, la grafica de la ecuacion
-x2-4x+5=0, tiene 2 soluciones reales y diferentes, en x= -5 y en x= 1 que son los cortes de la grafica con el eje x .
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Toda ecuación cuadrática puede tener dos raíces reales diferentes, dos raíces complejas diferentes o una sola raíz real. Resolver o hallar las raíces de una ecuación cuadrática significa encontrar el valor o los valores por los que se puede remplazar la ; variable de tal manera que se satisfaga la igualdad.
En ocasiones se presentan polinomios en los que al reducir los términos semejantes se obtiene una ecuación cuadrática.
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Forma canónica de una ecuación cuadrática
En ocasiones es necesario efectuar operaciones algebraicas para escribir una ecuación en la forma canónica: x2 + bx + c = O, donde byc son números reales.
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