Unidad 9. Utilicemos Radicales. Métodos para cambiar la forma de un Radical.

Métodos para cambiar la forma de un radical.

Para cambiar la forma de un radical sin alterar su valor, existe varios métodos 1. Descomponiendo el radical en factores para extraer los factores elevados a potencias mayores que el índice de la raíz; 2. Introduciendo los coeficientes del radio para convertir un radical en un radical entero; 3. Simplificándolos radicales a su más simple expresión. 

1. Extraer factores de un radical.

El cálculo de 

Donde m > n se puede simplificar si se extrae del radical los factores cuyas potencias son mayores al índice de la raíz. Esto se logra aplicando la propiedad del producto de raíces y propiedades del exponentes fraccionarios.

Entonces, para extraer un factor del radical, se divide el exponente n del factor entre el índice n del radical:

Donde c es el cociente de la división y r el residuo de la misma.

Resulta entonces que el cociente es el exponente del factor que queda fuera del radical y el residuo es el exponente del factor dentro del radical.

2. Introduciendo factores bajo el signo radical.

Este procedimiento es inverso al de la extracción de factores de un radical. Se justifica aplicando la propiedad del producto de raíces y la propiedad del exponente fraccionario.

Por definición sabemos de potencias de raíces sabemos que:

Entonces por la propiedad del producto de radicales, se obtiene:

Para introducir un coeficiente de un radical dentro del signo radical se elevan dicho coeficiente al índice del radical; es decir, el coeficiente se introduce al radical elevado a la potencia de la raíz.

Para convertir un radical en un radical entero, se debe introducir los coeficientes de dicho radical elevados al índice correspondiente bajo el signo radical.

Al introducir los coeficientes bajo el signo radical, se produce una nueva expresión que es equivalente a la original.

3. Cambio de índice de un radical.

Hasta ahora se han estudiado varios métodos para cambiar la forma de un radical sin alterar su valor.

Por ejemplo, descomponiendo el radical en factores para extraer los factores elevados a potencias mayores que el índice de la raíz, introduciendo los coeficientes del radical para convertir el radical en un radical entero; y simplificando los radicales a su más simple expresión.

Sin embargo, un método muy útil que facilita los cálculos de expresiones con radicales es convertir los radicales de forma que tengan un índice común.

Para convertir radicales no homogéneos a radicales con índice común se aplica el siguiente proceso:

• Se encuentra el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales. Este será el índice común. 
• Se eleva cada radicando a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de la raíz de cada radical.

Es importante notar que el convertir los radicales a radicales homogéneos permite comparar los radicandos para determinar cuál de ellos es el mayor o el menor.