Unidad 3. Medidas de dispersion

Medidas de dispersión

1. Medida aritmética

Cuando se tiene un grupo de observaciones y se busca describirlo con los valores mas característicos, apare del valor mas grande y el valor mas pequeño, que son los extremos. es necesario encontrar valores centrales que describan el comportamiento de los datos. A estos valores se les conoce como medida de tendencia central

2. Medidas de dispersión

Las medidas de tendencia central son buenos parámetros para representar un conjunto de datos. Pero no proporciona una idea de como se distribuyen esos datos. Para ese fin utilizamos otros parámetros llamados medidas de dispersión, que proporcionan información acerca de que tan disperso o variados son los datos.

Las medidas de dispersión permiten conocer el grado de agrupamiento de los datos en torno a las medidas de tendencia central. Es importante conocer si los valores en general están cerca o lejos de estos valores centrales. Las medidas de dispersión mas usadas son: El rango, la varianza y la desviación estándar o típica

2.1 Amplitud o rango

El rango (R), también conocido como amplitud, es la diferencia entre el mayor y el menor dato en una distribución. Es la manera mas simple de medir la variabilidad de una distribución de datos y permite visualizar su amplitud

2.2 Desviación típica para datos sin agrupar

La desviación típica o estándar es la medida de dispersión mas común: se define a partir de la varianza.

Desviación típica o estándar: es un valor que permite medir la dispersión de los datos respecto al valor de la media o promedio; cuanto mas grande sea su valor mas dispersos estarán los datos en la media

Unidad 7 Resolvamos sistemas de ecuaciones.

Unidad 7

Resolvamos sistemas de ecuaciones.

-Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

-Métodos de solución.

-Reducción (suma y resta).

Regla de Sarrus.

Regla de Cramer

-Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones.

Múltiples aplicaciones.

Los sistemas de ecuaciones tienen muchas aplicaciones en el entorno, que son usados en ingeniería, medicina y química, por mencionar algunas áreas.

Para llegar a los actuales métodos de resolucion de sistemas de ecuaciones, han tenido que pasar mas de tres milenios. Los babilonios fueron los primeros en resolver sistemas de ecuaciones; ellos nombraban las incognitas con palabras como longitud, anchura, área o volumen.

En nuestros dias existen métodos bien estructurados para resolver estos sistemas; los cuales se pueden utilizar para resolver problemas como  los siguientes:

En un aula de noveno grado hay 48 alumnos. Luego de revisar los resultados obtenidos en matematica, lenguaje y estudios sociales, se observo que todos aprobaron una sola materia.

Quienes aprobaron solo matemática, más 4 alumnos, son igual número, que quienes aprobaron lenguaje. Quienes aprobaron matemática exceden a 1 quienes aprobaron sociales.

Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

  

Una ecuación lineal con tres incógnitas tiene la forma ax+by+cz=d, en donde, x, y y z son las incógnitas o variables desconocidas; a, b y c son los coeficientes de las incógnitas y d es la constante o termino independiente de la ecuación.

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es un conjunto de tres ecuaciones que se resuelven simultáneamente.

 

Gráficamente, cada una de las ecuaciones que forman el sistema representa un plano.

Ejemplos 

1. Representar gráficamente la solución de la ecuación 2x+3y+4z=12

Primero , se hallan los intercepto con los ejes asi: con el eje x: se hace y=0 y se despeja y,

2x+3(0)+4(0)=12

2x=12  

x=12/6

x=2

Con el eje y: se hace x=0 y z=0 y se despeja y. 

2(0)+3y+4(0)=12

3y=12

y=4

Con el eje z: se hace x=o y y=0 y se despeja z.

2(0)+3(0)+4z=12

4z=12

z=3

• Segundo, se localizan los intercepto hallados 
• Finalmente, se realiza la gráfica.

La solución de un sistema de ecuaciones 3 x 3, si existe, es un punto de la forma (x,y,z). Estas coordenadas satisfacen las tres ecuaciones del sistema simultáneamente. 

Unidad 9. Utilicemos Radicales. Métodos para cambiar la forma de un Radical.

Métodos para cambiar la forma de un radical.

Para cambiar la forma de un radical sin alterar su valor, existe varios métodos 1. Descomponiendo el radical en factores para extraer los factores elevados a potencias mayores que el índice de la raíz; 2. Introduciendo los coeficientes del radio para convertir un radical en un radical entero; 3. Simplificándolos radicales a su más simple expresión. 

1. Extraer factores de un radical.

El cálculo de 

Donde m > n se puede simplificar si se extrae del radical los factores cuyas potencias son mayores al índice de la raíz. Esto se logra aplicando la propiedad del producto de raíces y propiedades del exponentes fraccionarios.

Entonces, para extraer un factor del radical, se divide el exponente n del factor entre el índice n del radical:

Donde c es el cociente de la división y r el residuo de la misma.

Resulta entonces que el cociente es el exponente del factor que queda fuera del radical y el residuo es el exponente del factor dentro del radical.

2. Introduciendo factores bajo el signo radical.

Este procedimiento es inverso al de la extracción de factores de un radical. Se justifica aplicando la propiedad del producto de raíces y la propiedad del exponente fraccionario.

Por definición sabemos de potencias de raíces sabemos que:

Entonces por la propiedad del producto de radicales, se obtiene:

Para introducir un coeficiente de un radical dentro del signo radical se elevan dicho coeficiente al índice del radical; es decir, el coeficiente se introduce al radical elevado a la potencia de la raíz.

Para convertir un radical en un radical entero, se debe introducir los coeficientes de dicho radical elevados al índice correspondiente bajo el signo radical.

Al introducir los coeficientes bajo el signo radical, se produce una nueva expresión que es equivalente a la original.

3. Cambio de índice de un radical.

Hasta ahora se han estudiado varios métodos para cambiar la forma de un radical sin alterar su valor.

Por ejemplo, descomponiendo el radical en factores para extraer los factores elevados a potencias mayores que el índice de la raíz, introduciendo los coeficientes del radical para convertir el radical en un radical entero; y simplificando los radicales a su más simple expresión.

Sin embargo, un método muy útil que facilita los cálculos de expresiones con radicales es convertir los radicales de forma que tengan un índice común.

Para convertir radicales no homogéneos a radicales con índice común se aplica el siguiente proceso:

• Se encuentra el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales. Este será el índice común. 
• Se eleva cada radicando a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de la raíz de cada radical.

Es importante notar que el convertir los radicales a radicales homogéneos permite comparar los radicandos para determinar cuál de ellos es el mayor o el menor.

  

Unidad 9. Utilicemos Radicales. Radicales Semejantes.

Radicales Semejantes.

Dos o más radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo índice de raíz. Dichos radicales solo pueden diferir en el coeficiente.

1. Simplificación de expresiones con radicales.

Simplificar un radical es expresarlo e su forma más simple. Para que una expresión con radicales se encuentre simplificada se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. Los exponentes de los factores que forman el radicando no pueden ser números mayores o iguales al índice de la raíz. Es decir, la expresión :

2. El máximo común divisor entre los exponentes de los factores del radicando y el índice de la raíz debe ser uno, es decir, no tienen entre si otro factor común distinto de uno.

Unidad 2.Sistema de dos ecuaciones lineales

Sistema de dos ecuaciones lineales

En general, un sistema d ecuaciones lineales con dos incógnitas se representa de la forma:

ax + by = e                     cx + dy = f

1. Ecuaciones lineales con dos incógnitas

  Una ecuación de primer grado con una o varias incógnitas se denomina Ecuación lineal.

• Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar de la forma  ax + by = c, donde X e Y son las incógnitas, y a, b y c ϵ R
• Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es cada par de valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad
• Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

2. Sistemas de ecuaciones lineales

Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común forman un sistema de ecuaciones lineales.

Una solución del sistemas es todo par de números que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución

En general, un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se representa de la forma:

ax + by = c               donde a, b, c, e y f son números reales

cx + dy = f

La solución del sistema es el par de valores X y Y que la satisfacen de manera simultanea

Unidad 9. Utilicemos Radicales. Exponentes.

Exponentes.

 Es una potencia dependiendo del conjunto al que pertenece el exponente, se presenta tres casos: 1. el exponente entero es positivo. 2. El exponente es un entero no positivo. 3. El exponente es un número entero racional.

2. Exponente fraccionario.

Cuando el exponente de una potencia es un número racional, la potencia se puede expresar como una raíz.

En general, se puede decir que si a pertenece a los número reales y m/n pertenece a los números racionales positivos entonces:

Se puede utilizar esta regla para transformar un expresión de la forma radical a una exponencial y viceversa. Para cambiar una expresión radical a una forma exponencial, el exponente es el numerador de la fracción y el índice de la raíz es el denominador.

Unidad 9. Utilicemos Radicales. Radicación algebraica.

Radicación Algebraica.

1.1 Raíz cuadrada.

La raíz cuadrada enésima de un número real a es un número real b, si y sólo si la enésima potencia de b es a. Es decir.

  

Si y sólo si, b=a con a, b € R y n € z+

El número n recibe nombre de índice de la raíz, a es el radicando o cantidad subradical y b es la raíz.

Si n es par, se debe tener a >0 y b >0

Cuando en un raíz no aparece indicado el índice se debe entender que se refiere a una raíz cuadrada y dicho índice es 2. Además, recuerda que todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada.

2. Radicación en los reales.   

Reglas de la radicales.

1. Potencia enésima de la raíz enésima.

Si a pertenecer al conjunto de los números y n es un número entero positivo, se cumple que:

2. Raíz enésima de un producto.

Si a y b pertenecen al conjunto de los números reales y n es un número entero positivo }, se cumple que:

3. Raíz enésima de un cociente.

Si a y b pertenecen al conjunto de los números reales y n es un número entero positivo, se cumple que:

4. Raíz enésima de una potencia enésima.

Si a pertenece al conjunto de los número reales; n y m son números enteros positivos, se cumple que 

Esto significa que la potencia de una raíz del radicando elevado a la potencia.

5. Raíz enésima de otra raíz enésima.

Si a pertenecer al conjunto de los números reales: n y m son número enteros positivos, entonces se cumple que 

Esto significa que el índice de la raíz enésima de una raíz n-ésima se obtiene multiplicando los índices de los radicales y el radicando es el mismo.